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研究生: 吳淑琳
Wu Shu-Ling
論文名稱: 國 中 生 線 型 函 數 概 念 發 展 之個案研究
指導教授: 曹博盛
學位類別: 碩士
Master
系所名稱: 數學系
Department of Mathematics
論文出版年: 2001
畢業學年度: 89
語文別: 中文
論文頁數: 256
中文關鍵詞: 線型函數層次
論文種類: 學術論文
相關次數: 點閱:220下載:43
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  • 本研究主要是以Pirie與Kieren的「數學理解的成長的動態理論」來探討兩名國二學生,Lily和珊珊,的線型函數概念的發展情形。
    本研究的待答問題包括:一、學生的學習過程是否出現動態、非線性、遞迴的現象?二、學生概念發展過程中有哪些師生或同儕的互動或個人的因素(如學習態度、學習方法)的涉入?這些因素對學生的概念發展產生什麼影響?三、概念發展的過程中,學生在各層次上有哪些錯誤的學習結果?
    本研究採用了隨堂觀察、施以試卷及請學生做「概念圖」和訪談等來蒐集資料,用以回答本研究的待答問題。
    本研究的主要研究結果為:(一)Lily和珊珊的概念發展都有出現動態、非線性、遞迴的現象。
    (二)概念發展的過程中,Lily在各層次上錯誤的學習結果如下。層次一:1.計算錯誤,2.乘方問題的錯誤,3.坐標平面結構的錯誤,4.將點的位置填錯;層次二:1.對於常數函數,只能完成表列的第一列,但無法做表列的第二列,2.將表列式的結果在坐標平面上標出時,發生(1)點在x軸上方或下方的錯誤,(2)點在鉛直線上或水平線上的錯誤;層次三:以為1.線型函數y=f(x)的自變數是沒有範圍限制的,2.任意兩點所形成的直線上,該兩點間的點是數不清的,但也有一定的限度,3.點圖和直線都是被給定的線型函數的圖形,4.函數圖形要有形狀,點圖沒有形狀,所以點圖不可能是函數的圖形,5.將合於y=f(x)關係的「一部份的點(x, y)」描畫出來所得到的圖形就是函數f(x)的圖形,而且畫函數圖形時必須將所描的點用線段連起來,6.因為q(a)=b,就認為(a, b)是函數q(x)與y軸的交點,7.看不懂形如(a, f(a))這樣的符號;層次四:無法呈現被給定的常數函數的圖形;層次五:1.函數的一般式是錯誤的,2.不了解自己記憶中之函數的一般式的係數之意義,3.不了解「線型函數」之「線型」二字所隱含的意義,4.函數的名稱、圖形與代數式配對上的混淆;層次六:以為對函數f(x)=ax+b,自變數增加一單位時,函數值會跟著增加b單位;層次七:在我們整個研究期間內,Lily除了能夠「解釋為何f(x)=ax+b是y=ax+b的另一種表示方式」外,其它各項都只是對形式化的結果有所觀察,但未達到層次七的要求;層次八:在研究期間我們看不到Lily有這方面的發展。
    珊珊在各層次上錯誤的學習結果如下。層次一:1.計算錯誤,2.文字符號使用上的錯誤,3.填錯,4.將點的位置填錯;層次二:1.對常數函數的表列式中是x為定值,或是y為定值感到遲疑,2.無法正確完成該層次所對應的數學內容;層次三:1.以為將合於y=f(x)關係的「一部份的點(x, y)」描畫出來所得到的圖形就是函數f(x)的圖形,2.點圖和直線這兩種圖形是一樣的,它們都是被給定的線型函數的圖形,3.由兩個點所形成的點圖是直線這種圖形的圖形,4.對點圖和直線圖形認知上的迷思,5.將合於y=f(x)關係的「一部份的點(x, y)」描畫出來所得到的圖形「不是」函數f(x)的圖形,因為這只是值域的部份,沒有定義域的部份,不算是函數,6.形如f(x)=ax+b的代數式,圖形是直線,是當x沒有範圍限制的時候,而當x有某種範圍限制時,它的圖形就有可能是點圖,7.因為q(a)=b ,就認為(a, b)是函數q(x)與y軸的交點,8.看不懂形如(a, f(a))這樣的符號;層次四:對於呈現被給定的常數函數的圖形,其方式不明確;層次五:1.函數的圖形一定不會是折線,2.代數式中,x代入正數,得到正的函數值者,圖形為東北西南向的直線,若所得的函數值為負,則圖形為西北東南向的直線,3.零函數、零次函數及一次函數判定上的錯誤;層次六:以為將x代值進去,得到的函數值較大的函數其圖形較陡;層次七:1. 以為只有在函數中才會「y=f(x)」,所以f(x)=ax+b是y=ax+b的另一種表示方式,2.對於f(x)=ax+b,以為a的絕對值越大時,x代值進去後的函數值跟這也較大,所以較陡;層次八:在研究期間我們看不到珊珊有這方面的發展。
    (三)概念發展的過程中,影響Lily線型函數概念發展的可能因素有:1.起始知識的遺忘,2.教師的教學策略(幫學生複習舊有的相關知識),3.起始知識的缺乏,4.起始知識的不熟悉,5.教師的教材教法與舊經驗的順向遷移之綜合影響,6.教師的教材教法,7.國編本數學第三冊(民87)的教材內容,8.舊經驗的干擾,9.學習過程中所接觸之例題、試題的題型,10.教師的教材教法與舊經驗的干擾之綜合影響,11.教師上課內容的干擾,12.與同學互動(Lily向同學請教)的品質,13.概念本身的特質與學生的學習狀況之綜合影響,14.教師的期望。
    影響珊珊線型函數概念發展的可能因素有:1.疏於練習,2.教師的教材教法,3.舊經驗的順向遷移,4.舊經驗的順向遷移與學生的「學習傾向」之綜合影響,5.國編本數學第三冊(民87)的教材內容,6.舊經驗的干擾,7.與教師的互動(珊珊私下去請教老師),8.學習過程中所接觸之例題、試題的題型,9.學生的「學習傾向」,10.教師上課內容的干擾,11.教師教學活動的安排,12.學生學習過程中「雙向思考」的經驗與其已發展的概念之綜合影響,13.數學焦慮,14.教師的期望,15.珊珊與同學的互動。
    最後,對Lily和珊珊的線型函數概念的發展做綜合的比較分析,並根據本研究的過程及結果,提出了一些建議,以提供教師或未來的研究者做為參考之用。

    第壹章 緒論…………………………………………………………1 第一節 問題背景與研究動機…………………………………1 第二節 理論架構………………………………………………5 第三節 研究目的………………………………………………12 第四節 名詞界定………………………………………………12 第貳章 文獻探討……………………………………………………13 第一節 概念發展過程之探討………………………………….13 一、概念發展的方式………………………………….13 二、概念的理解……………………………………….15 三、心像……………………………………………….17 第二節 函數概念的內涵……………………………………….19 一、函數的定義……………………………………….19 二、函數的表徵………………………………………..20 三、函數的程序性概念與結構性概念………………..22 第三節 影響學習的因素……………………………………..24 一、學生部份的因素…………………………………..24 (一)態度………………………………………...24 (二)舊有的學習經驗…………………………...25 二、教師部份的因素……………………………………26 (一)期望…………………………………………26 (二)教師的教學…………………………………26 三、社會互動的因素…………………………………….27 第參章 研究方法…………………………………………….29 第一節 研究設計………………………………………………..29 第二節 研究對象………………………………………………..30 第三節 研究工具…………………………………………….….31 第四節 實施步驟………………………………………………..36 第五節 研究限制…………………………………………….….39 第肆章 Lily的線型函數概念的發展………………………..40 第一節 Lily的概念發展模式…………………………………...40 第二節 Lily在各層次的一些錯誤的學習結果………………...57 第三節 Lily概念發展的影響因素……………………………...73 第伍章 珊珊的線型函數概念的發展………………………..84 第一節 珊珊的概念發展模式…………………………………..84 第二節 珊珊在各層次的一些錯誤的學習結果……………….100 第三節 珊珊概念發展的影響因素…………………………….112 第陸章 綜合討論與建議…………………………………….126 第一節 綜合討論………………………………………………….126 第二節 建議……………………………………………………….129 參考文獻………………………………………………………131 中文部份…………………………………………………………….131 英文部份…………………………………………………………….133 附錄……………………………………………………………136 一、 「線型函數概念發展」試卷…………………………………..136 二、 數學態度量表………………………………………………….148 三、 同意書………………………………………………………….150 四、 Lily的預試試卷……………………………………………….151 五、 珊珊的預試試卷……………………………………………….157 六、 Lily的複試試卷………………………………………………..163 七、 珊珊的複試試卷………………………………………………..169 八、 上課內容紀錄(部份)…………….………………………………….175 九、 Lily的訪談紀錄(部份)……………………………………………… .192 十、 珊珊的訪談紀錄(部份)………………………………………………..214 十一、Lily的概念圖(部份)…………………………………………..239 十二、珊珊的概念圖(部份)………………………………………….243 十三、Lily的其他相關資料………………………………………..246 十四、珊珊的其他相關資料………………………………………251 表 次 表1-1 線型函數的理解模式…………………………………….…10 表2-1 「函數表徵與其子概念」對應表………………………….21 表3-1 試卷的題號與「線型函數的理解模式」的對照表.………31 表3-2 對Lily的各次訪談的內容所屬的層次分布表………….…34 表3-3 對珊珊的各次訪談的內容所屬的層次分布表………….…34 圖 次 圖1-1 數學理解模型…………………………………………….…6 圖1-2 數學理解的圖示…………………………………………….9 圖2-1有意義學習的幾種條件….…………………………………16 圖2-2 函數表徵間可能的轉換……………………………………22 圖2-3 教師期望、教室歷程和學生成就之間的關係模式圖……26 圖3-1 實施過程流程圖……………………………………………38 圖4-1 Lily的概念發展路線圖一…………………………………..54 圖4-2 Lily的概念發展路線圖二…………………………………..56 圖5-1 珊珊的概念發展路線圖一…………………………………97 圖5-2 珊珊的概念發展路線圖二…………………………………99

    一、 中文部份
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