研究生: |
吳淑琳 Wu Shu-Ling |
---|---|
論文名稱: |
國 中 生 線 型 函 數 概 念 發 展 之個案研究 |
指導教授: | 曹博盛 |
學位類別: |
碩士 Master |
系所名稱: |
數學系 Department of Mathematics |
論文出版年: | 2001 |
畢業學年度: | 89 |
語文別: | 中文 |
論文頁數: | 256 |
中文關鍵詞: | 線型函數 、層次 |
論文種類: | 學術論文 |
相關次數: | 點閱:237 下載:43 |
分享至: |
查詢本校圖書館目錄 查詢臺灣博碩士論文知識加值系統 勘誤回報 |
本研究主要是以Pirie與Kieren的「數學理解的成長的動態理論」來探討兩名國二學生,Lily和珊珊,的線型函數概念的發展情形。
本研究的待答問題包括:一、學生的學習過程是否出現動態、非線性、遞迴的現象?二、學生概念發展過程中有哪些師生或同儕的互動或個人的因素(如學習態度、學習方法)的涉入?這些因素對學生的概念發展產生什麼影響?三、概念發展的過程中,學生在各層次上有哪些錯誤的學習結果?
本研究採用了隨堂觀察、施以試卷及請學生做「概念圖」和訪談等來蒐集資料,用以回答本研究的待答問題。
本研究的主要研究結果為:(一)Lily和珊珊的概念發展都有出現動態、非線性、遞迴的現象。
(二)概念發展的過程中,Lily在各層次上錯誤的學習結果如下。層次一:1.計算錯誤,2.乘方問題的錯誤,3.坐標平面結構的錯誤,4.將點的位置填錯;層次二:1.對於常數函數,只能完成表列的第一列,但無法做表列的第二列,2.將表列式的結果在坐標平面上標出時,發生(1)點在x軸上方或下方的錯誤,(2)點在鉛直線上或水平線上的錯誤;層次三:以為1.線型函數y=f(x)的自變數是沒有範圍限制的,2.任意兩點所形成的直線上,該兩點間的點是數不清的,但也有一定的限度,3.點圖和直線都是被給定的線型函數的圖形,4.函數圖形要有形狀,點圖沒有形狀,所以點圖不可能是函數的圖形,5.將合於y=f(x)關係的「一部份的點(x, y)」描畫出來所得到的圖形就是函數f(x)的圖形,而且畫函數圖形時必須將所描的點用線段連起來,6.因為q(a)=b,就認為(a, b)是函數q(x)與y軸的交點,7.看不懂形如(a, f(a))這樣的符號;層次四:無法呈現被給定的常數函數的圖形;層次五:1.函數的一般式是錯誤的,2.不了解自己記憶中之函數的一般式的係數之意義,3.不了解「線型函數」之「線型」二字所隱含的意義,4.函數的名稱、圖形與代數式配對上的混淆;層次六:以為對函數f(x)=ax+b,自變數增加一單位時,函數值會跟著增加b單位;層次七:在我們整個研究期間內,Lily除了能夠「解釋為何f(x)=ax+b是y=ax+b的另一種表示方式」外,其它各項都只是對形式化的結果有所觀察,但未達到層次七的要求;層次八:在研究期間我們看不到Lily有這方面的發展。
珊珊在各層次上錯誤的學習結果如下。層次一:1.計算錯誤,2.文字符號使用上的錯誤,3.填錯,4.將點的位置填錯;層次二:1.對常數函數的表列式中是x為定值,或是y為定值感到遲疑,2.無法正確完成該層次所對應的數學內容;層次三:1.以為將合於y=f(x)關係的「一部份的點(x, y)」描畫出來所得到的圖形就是函數f(x)的圖形,2.點圖和直線這兩種圖形是一樣的,它們都是被給定的線型函數的圖形,3.由兩個點所形成的點圖是直線這種圖形的圖形,4.對點圖和直線圖形認知上的迷思,5.將合於y=f(x)關係的「一部份的點(x, y)」描畫出來所得到的圖形「不是」函數f(x)的圖形,因為這只是值域的部份,沒有定義域的部份,不算是函數,6.形如f(x)=ax+b的代數式,圖形是直線,是當x沒有範圍限制的時候,而當x有某種範圍限制時,它的圖形就有可能是點圖,7.因為q(a)=b ,就認為(a, b)是函數q(x)與y軸的交點,8.看不懂形如(a, f(a))這樣的符號;層次四:對於呈現被給定的常數函數的圖形,其方式不明確;層次五:1.函數的圖形一定不會是折線,2.代數式中,x代入正數,得到正的函數值者,圖形為東北西南向的直線,若所得的函數值為負,則圖形為西北東南向的直線,3.零函數、零次函數及一次函數判定上的錯誤;層次六:以為將x代值進去,得到的函數值較大的函數其圖形較陡;層次七:1. 以為只有在函數中才會「y=f(x)」,所以f(x)=ax+b是y=ax+b的另一種表示方式,2.對於f(x)=ax+b,以為a的絕對值越大時,x代值進去後的函數值跟這也較大,所以較陡;層次八:在研究期間我們看不到珊珊有這方面的發展。
(三)概念發展的過程中,影響Lily線型函數概念發展的可能因素有:1.起始知識的遺忘,2.教師的教學策略(幫學生複習舊有的相關知識),3.起始知識的缺乏,4.起始知識的不熟悉,5.教師的教材教法與舊經驗的順向遷移之綜合影響,6.教師的教材教法,7.國編本數學第三冊(民87)的教材內容,8.舊經驗的干擾,9.學習過程中所接觸之例題、試題的題型,10.教師的教材教法與舊經驗的干擾之綜合影響,11.教師上課內容的干擾,12.與同學互動(Lily向同學請教)的品質,13.概念本身的特質與學生的學習狀況之綜合影響,14.教師的期望。
影響珊珊線型函數概念發展的可能因素有:1.疏於練習,2.教師的教材教法,3.舊經驗的順向遷移,4.舊經驗的順向遷移與學生的「學習傾向」之綜合影響,5.國編本數學第三冊(民87)的教材內容,6.舊經驗的干擾,7.與教師的互動(珊珊私下去請教老師),8.學習過程中所接觸之例題、試題的題型,9.學生的「學習傾向」,10.教師上課內容的干擾,11.教師教學活動的安排,12.學生學習過程中「雙向思考」的經驗與其已發展的概念之綜合影響,13.數學焦慮,14.教師的期望,15.珊珊與同學的互動。
最後,對Lily和珊珊的線型函數概念的發展做綜合的比較分析,並根據本研究的過程及結果,提出了一些建議,以提供教師或未來的研究者做為參考之用。
一、 中文部份
(1) 國立編譯館主編(民86)。國民中學數學第二冊。台北:台灣書店。
(2) 國立編譯館主編(民87)。國民中學數學第三冊。台北:台灣書店。
(3) 國立編譯館主編(民88)。國民中學數學教師手冊第三冊。台北:台灣書店。
(4) 行政院國家科學委員會學門規劃資料:數學教育(民85)。台北:行政院國家科學委員會科學教育發展處。
(5) 皮連生(民82)。認知結構與遷移。在邵瑞珍、皮連生主編的教育心理學(PP.257-296)。台北:五南。
(6) 李美枝(民69)。社會心理學。台北:大洋出版社。
(7) 呂溪木(1983)。從國際科展看我國今後科學教育發展的方向。科學教育月刊,64,13-19。
(8) 吳慧真(民86)。幾何證明探究教學之研究。國立台灣師範大學數學研究所碩士論文。
(9) 吳慶麟(民82)。學習中的團體與社會因素。在邵瑞珍、皮連生主編的教育心理學(PP. 459-488)。台北:五南。
(10) 林福來、黃敏晃(民81)。教與學的整合研究(Ⅲ):分數啟蒙的診斷教學。行政院國家科學委員會專題研究計劃成果報告。NSC 82-0111-S-03-013。
(11) 施良方(1996)。學習理論。高雄:麗文文化。
(12) 施盈蘭(民84)。五專生的三角函數學習現象。國立台灣師範大學數學研究所碩士論文。
(13) 曹宗萍、周文忠(民87)。國小數學態度量表編製之研究。論文發表於八十七學年度教育學術研討會。台北市立師範學院,民國八十七年十一月。
(14) 張春興(民83)。教育心理學。台北:東華書局。
(15) 楊金鼎主編(民82)。古文觀止全譯。台北:東華書局。
(16) 數學科研究小組主編(民88)。國民教育九年一貫課程綱要草案:數學學習領域。
(17) 鍾聖校(1990/1998)。認知心理學。台北:心理出版社。
(18) 謝豐瑞、陳材河(民86)。函數的一生。科學教育月刊,199,34-43。
(19) 簡芳怡(民89)。台北地區國二學生的因式分解錯誤類型之研究。國立台灣師範大學數學研究所碩士論文。
(20) 魏麗敏(民77)。國小學生數學焦慮、數學態度與數學成就之關係暨數學學習團體諮商之效果研究。國立台灣師範大學碩士論文。
(21) 蘇慧娟(1997)。高雄地區國二學生方根概念及運算錯誤類型之分析研究。國立高雄師範大學數學教育研究所碩士論文。
(22) Lindgren, H. C.(民77)。教育心理學(章志光、張世富、肖毓秀、楊繼本、肖前英等譯)。台北:五州出版社。
(23) Mayer , R. E.(1997)。教育心理學:認知取向(林清山譯)。台北:遠流出版社。
(24) Patton, M. Q.(1998)。質的評鑑與研究(吳芝儀、李奉儒譯)。台北:桂冠。
(25) Skemp , R. R.(1995)。數學學習心理學(陳澤民譯)。台北:九章出版社。(原文出版於1987)。
(26) Bruner, J. S.(民86)。教學論(邵瑞珍譯)。台北:五南。
二、 英文部份
(1) Costello, J. (1991). Algebra. In J.Costello (Ed.), Teaching and Learning Mathematics 11-16 (PP. 27-40). London: Routledge.
(2) Carpenter, T. P., Fennema, E., Peterson, P. L., Chiang, C. P., & Loef, M. (1989). Using Knowledge of Childrens’ Mathematics Thinking in Classroom Teaching : an Experimental Study. American Education Research Journal, 26, 499-531.
(3) Dreyfus, T., & Eisenberg, T. (1982). Intuitive functional concepts: A baseline study on intuitions. Journal for Research in Mathematics Education, 13, 360-380.
(4) Dreyfus, T., Artigue, M., Eisenberg, T., Tall, D., & Wheeler, D. (1990). Advanced Mathematical Thinking. In P. Nesher & J. Kilpatrick, Mathematics and Cognition (PP. 113-134). New York.: Cambridge University Press.
(5) Fennema, E., & Sherman, J.( 1977). Sex-related Differences in Mathematics Achievement, Spatial Visualization, and Affective Factors. American Education Research Journal, 14(1), 15-71.
(6) Herscovics, N.(1979). A Learning Model for Some Algebraic Concepts. In K. Fuson & W .Geeslin (Eds) Explorations in the Modelling of the Learning of Mathematics (PP. 98-116). Columbus , OH : ERIC/SMEAC .
(7) Hiebert, J. & Carpenter, T.(1992). Learning and Teaching with Understanding. In D. Grouws (Ed.) Handbook for Research on Mathematics Teaching and Learning (PP. 65-100). New York: Macmillan.
(8) Hershkowitz, R., Ben-Chaim, D., Hoyles, C., Lappan, G., Michale., & Vinner, S. (1990). Psychologyical Aspects of Learning Geometry. In P. Nesher & J. Kilpatrick, Mathematics and Cognition (PP. 70-95). New York.: Cambridge University Press.
(9) Janvier, C. (1987a). Translation Processes in Mathematics Education. In C. Janvier (Ed.) Problems of Representation in the Teaching and Learning of Mathematics (PP. 27-31). Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum.
(10) Janvier, C. (1987b) Representation and Understanding: The Notion of Function as an Example. In C. Janvier (Ed.) Problems of Representation in the Teaching and Learning of Mathematics (PP. 27-31). Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum
(11) Kieran , C. (1992). The Learning and Teaching of School Algebra. In D. Grouws (Ed.) Handbook for Research on Mathematics Teaching and Learning (PP. 390-419). New York: Macmillan.
(12) Kieran , C. (1990). Cognitive Processes Involved in Learning School Algebra . In P. Nesher ., & J . Kilpatrick (Eds.). Mathematics and Cognition : A Reasearch Synthesis by the International Group for the Psychology of mathematics Education (PP. 96-112) . New York: Cambridge University Press. Chester,Melbourne:Sydney.
(13) Kieren , T. E. & Pirie , S. E. B(1992). The Answer Determines the Question. Interventions and the Growth of Mathematical Understanding. Paper presented in W. Geeslin, & K. Graham (Eds.) , Proceedings of Sixteenth Psychology of Mathematical Education Conference, Vol.2,1-8. Durham, NH.
(14) Kieren , T. E. & Pirie , S. E. B.(1991a). The Characteristics of the Growth of Mathematical Understanging . Paper presented at the meeting of AERA, Chicago, IL.
(15) Kieren , T. E .& Pirie , S. E. B.(1991b). Recursion and the Mathematical Experience. In L. P. Steffe (Ed). Epistemological Functions of Mathematical Experience (PP. 78-101). New York: Springer Verlag.
(16) Kieren , T. E. (1990). Understanding for Teaching for Understanding. The Alberta Journal of Educational Research. Vol.36. No3. September. 191-201.
(17) Mcleod, D. B. (1992). Research on Affect in Mathematics Education: A Reconceptualization. In D. Grouws(Ed.) Handbook for Research on Mathematics Teaching and Learning(PP. 575-596). New York: Macmillan.
(18) Markovits Z., Eylon, B., & Bruckheimer, M. (1988) Difficulties Students Have with the Function Concept. In A. F. Coxford & A. P. Shulte (Eds.). The Ideas of Algebra. K-12 (PP. 43-60).Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics.
(19) Markovits Z., Eylon, B., & Bruckheimer, M. (1986). Functions Today and Yesterday.For the Learning of Mathematics 6,)2), 18-28.
(20) O’Callaghan, B. R. (1998). Computer-Intensive Algebra and Students’ Conceptual Knowledge of Functions.Journal for Research in Mathematics Education 29,(1),21-40.
(21) Poirier, L. & Bacon, L. (1996). Interactions between Children in Mathematics Class : an Example Concerning the Concept of Number. In H. Mansfield et al. (Eds.) , Mathematics for Tomorrow’s Young Children (PP. 166-176). Netherlands, Kluwer Academic Publishers.
(22) Pirie, S. E. B.,&Kieren,T. (1994). Growth in Mathematical Understanding: How Can We Characterise It and How Can We Represent It ? Educational Studies in Mathematics 26, 165-190.
(23) Pirie,S. E. B. & Kieren, T. E. (1992). Watching Sandy’s Understanding Grow. Journal of Mathematical Behaviour 11(3),243-257.
(24) Pirie , S.E. B., & Kieren , T. (1989). A recursive Theory of Mathematical Understanding. For the Learning of Mathematics 9,(3), 7-11.
(25) Sfard, A. (1991). On the Dual Nature of Mathematucal Conceptions: Reflections on Processes and Objects as Different Sides of the Same Coin. Educational Studies in Mathematics, 22, 1-36.
(26) Sfard, A. (1987). Two conceptions of mathematical notions:Operational and structural. In J. C. Bergeron, N. Herscovics., & C. Kieran (Eds.), Proceedings of the Eleventh International Conference for the Psychology of Mathematics Education, Vol.Ⅲ, 162-169. Montreal, Canada: Universite de Montreal.
(27) Sierpinska, A. (1992). On Understanding the Notion of Function. In D. Ed, & H. Guershon (Eds.), The Concept of Function: Aspects of Epistemology and Pedagogy(P. 26) . Mathematical Association of America.
(28) Stanic, G. M. A. & Hart, L. E.(1995). Attitudes, persistence, and mathematics achievement: Qualifying race and sex differences. In Walter G. Secada & Elizabeth Fennema & Lisa Byrd Adajian (Eds.) New directions for equity in mathematics education (PP. 258-276). New York: Cambridge.
(29) Syer , H. W. (1953). Sensory Learning Applied to Mathematics. In The National Council of Teachers of Mathematics : The Learning of Mathematics, 99-116.Washington, D. C.
(30) Tall, D. (1989). Concept Images, Generic Organizers, Computers, and Curriculum Change. For the Learning of Mathematics 9,(3). 37-42.
(31) Van Dyke, F. & V. Craine, T. (1999). Equivalent Representations in the Learning of Algebra. In B. Moses (Ed) Algebraic Thinking, Grades K-12 (PP. 215-219). NCTM, Reston, Virginia.
(32) Van Engen , H. (1953). The Formation of Concepts. In Fehr, H. F. (Ed). The Learning of Mathematics (PP. 69-98). Washington, D. C.