數學資優生的解題歷程分析
－以建中三位不同能力的數學資優生為例
摘要
本研究旨在探討不同能力數學資優生的解題歷程，包括：解題之認知特質（解題特徵、策略運用及後設認知的能力）、情意特質（數學信念及情緒反應）、及運用社會資源之情形。
本研究以建中數理資優班老師所命的十道數學題為研究工具，以建國高中二年級三位不同能力的數學資優生（A生，B生，C生）為研究對象，以個案放聲思考的方法，蒐集解題內部思考歷程，並以訪談的方式蒐集解題的情意態度，最後以質化的方式分析及統整所蒐集的資料，得到如下的結論：
1.解題歷程
能力越高的學生解題路徑越多，其中能力最高的A生最能覺知、掌握及分析題目及自己的能力，故較能依題目型態、個人經驗、能力及喜好預定出解題的方法及方向，而能力較弱的C生常需透過具體表徵及探索後，才會決定解題方法或方向，且較常使用有系統的討論方式來聯結題目的條件，而能力較弱的C生則較常使用無系統的假設法或嘗試錯誤法來探索題目。
2.數學知識
能力越高的學生越能利用語言知識、基模知識及數學相關概念知識來理解、聯結及應用題目的條件、相關知識、解法及方向。
3.數學思維方法
能力越高的學生使用的數學思維方法越多，尤其以能力最高的A生思考能力最靈活及快速。
4.解題策略
在難度適中的題目中數學資優生所使用的解題策略越多，而A生所使用的解題策略最多。
5.後設認知能力
在不同難易度題目中，不同能力數學資優生的後設認知能力各不相同，但整體以適中的題目所運用的後設認知能力較多，其中A生最能覺知、預測及評估自己的能力、解題行為及解題方法，並適時的做調整，且所使用的後設認知方法較多樣化。
6.情意態度
數學資優生在解題中遇到挫折時，大多抱持著積極正向的態度及信念，且不易出現較大的負面情緒，三位學生中，能力較弱的C生情緒起伏最小；能力中等的B生卡住的情境對其解題有較大的影響；而能力最高的A生較具信心故較無影響。
7.資源運用方面
不同能力的學生在解題時，當無法解出題目時，會去尋求資源來協助解題，唯其運用資源的方式及優先順序有所不同。
本研究除對研究結果加以討論外，研究者並提出在教學及研究上的建議，以作未來為數學資優生的教學及研究之參考。

A study on the problem-solving process of mathematically talented students-using three case
Abstract
The purpose of this study is to exam three facets of problem-solving process, cognitive characteristics, emotional characteristics, and the use of social resource, of mathematically talented students.
The participants of this study are three mathematically talented students in Jian-Kuo senior high school, all in the junior year and each with different mathematical abilities. Each student were to solve 10 mathematical questions given by 2 qualified teachers and the researcher collected information about their thinking process by asking the participants to think aloud how they solve these problems. Later on, interviews were given to collect information in regard to the participants'emotional shifts during the problem solving process.
The results showed that the student with the highest mathematical ability used more problem-solving paths, mathematical knowledge, mathematical thinking methods, effective strategies and metacognitive abilities than other two of mathematically talented students and was relatively faster in solving mathematical problems. And the three participants showed positive emotion shifts when encountered with difficulties, which affected them in different degree, during the problem solving process. Similarly the three participants used different social resources to help them selves solve the problems.
Further discussion was made on the basis of these findings and some suggestions on future instructions and researches were proposed.

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