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研究生: 王乃聖
論文名稱: 國中生乘法公式結構之察覺與概念心像
指導教授: 謝豐瑞
Hsieh, Feng-Jui
學位類別: 碩士
Master
系所名稱: 數學系
Department of Mathematics
論文出版年: 2003
畢業學年度: 92
語文別: 中文
論文頁數: 212頁
中文關鍵詞: 乘法公式察覺概念心像文字符號數系
論文種類: 學術論文
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  • 本研究的研究目的是探討國中學生對於數學式子中乘法公式結構的察覺現象以及對於乘法公式的概念心像。在乘法公式的概念心像方面,分成「主動擷取」與「被動擷取」的概念心像兩部分;在乘法公式結構的察覺現象方面,將數學式子分成「形似類型」與「隱含類型」兩大類,並與式子中物件的形式以及公式的其他因素搭配,探討學生察覺數學式子中乘法公式結構上的現象。
    本研究是描述性的研究。研究樣本是台北縣兩所國中國二共24班的933位學生,學生的程度近於全國學力測驗的平均。本研究以含有開放性與封閉性題目的問卷進行資料的收集;以量的方法分析封閉性題目的數據,以歸納分析法分析開放性題目的資料。
    本研究部分研究結果如下:
    一.在乘法公式的概念心像方面:
    1.在恆等式的概念心像上,認為和的平方公式中之a、b可以用任意數代入之學生佔施測人數的46.0%;但對於實際數值或符號(如 、 與x、x等等),這些學生中只有19.6%(施測人數的9.1%)認為其可被代入公式中的a、b。
    2.認為和的平方公式可以左右互換的學生或是認為和的平方公式不一定是課本所列的形式的學生都超過施測人數的60%以上。
    二.在乘法公式數學式子的察覺現象方面:
    1. 在數字型式的乘法公式中,多數「形似類型」的察覺成功率是「隱含類型」的2~4倍,有些差異甚至高達約49%(約4.7倍)。
    2. 隱含乘法公式結構中運算符號的數學式子之察覺成功率比未隱含運算符號的數學式子低很多。
    3. 對於數字型式的式子,不論具有哪一個乘法公式結構,當式子中有隱含運算符號時,即使是和課本型式相同的式子,學生察覺成功率都大約在4成以下。
    4. 對於隱含乘法公式結構的式子,在混合型、整係數型、分式型、三個文字符號型中,不同乘法公式之間的察覺成功率在統計上均不具顯著差異。但在平方型中,和的平方公式之察覺成功率顯著低於平方差公式─由左至右的察覺成功率。
    5. 對乘法公式概念心像不同的學生,在察覺乘法公式數學式子的題數上具有顯著差異。
    關鍵字:乘法公式、概念心像、察覺、文字符號、數系

    目 錄 第一章 緒論…………………………………………….……..…. 1 第一節 研究動機……………………………………………………… 1 第二節 研究目的……………………………………………..………. 4 第三節 名詞界定……………………………………………………… 5 第二章 文獻探討………………………………………………… 7 第一節 文字符號的概念…………………………………………….… 7 第二節 概念與概念心像………………………………….…………... 13 第三節 乘法公式的相關研究………………………………………… 17 第三章 研究方法………………………………………………… 19 第一節 研究設計……………………………………..……………...… 19 第二節 研究樣本………………………………………....…………… 20 第三節 研究工具…………………………………………………...… 22 第四節 研究步驟與過程………………………………………...…… 38 第五節 研究限制……………………………………………………… 40 第四章 研究結果與發現…………………………………. …….. 41 第一節 資料分析與類別簡介………………………………...……… 41 第二節 乘法公式的概念心像……………………………………...… 48 第三節 數學式子中乘法公式結構之察覺現象……………………... 91 第五章 結論與建議……………………………………………... 142 第一節 結論…………………………………………………………... 142 第二節 建議…………………………………………………………... 149 參考文獻 中文部分…………………………………………………….… 150 英文部分………………………………………………….…… 152 附錄 附錄一 研究工具與施測說明……………………………..…….. ……... 154 附錄二 乘法公式察覺現象初始研究工具架構.………………………... 160 附錄三 察覺現象比較分析列表…………………………………………. 166 附錄四 主動擷取概念心像統計分析報表………………………………. 168 附錄五 形似與隱含的差異統計分析報表………………………………. 170 附錄六 乘法公式的差異統計分析報表…………………………………. 182 附錄七 公式方向的差異統計分析報表………………………………….. 186 附錄八 乘法公式概念心像的察覺題數統計分析報表………………….. 188 附錄九 問卷[三]察覺成功率排序統計表……………………………….. 201 附錄十 學生察覺乘法公式數學式子的錯誤現象…………….……….… 203 附錄十一 學生答題情形分類與人數統計表…………….……………….… 204 表 次 表3-1 問卷樣本人數分配表……………………………………….……………. 21 表3-2 乘法公式數學式子形似類型察覺現象的研究工具架構……………….. 31 表3-3 乘法公式數學式子隱含類型察覺現象的研究工具架構……………….. 32 表3-4 問卷[三]數學式子題號與問卷的對照表………………………………… 33 表3-5 乘法公式察覺現象研究工具的隱含內容分析……………..…………… 34 表4-1 問卷[一]各題分類類別概述……………………………………………... 44 表4-2 問卷[二]各類題型分類類別概述………………………………………… 45 表4-3 問卷[三]各種回答情形的分類類別概述………………………………… 46 表4-4 學生在乘法公式單元中對於恆等式的概念心像……………………….. 49 表4-5 文字符號是否可代換乘法公式中的a、b……………………………… 51 表4-6 不同數系的數是否可代換乘法公式中的a、b………………….……... 53 表4-7 代換的文字符號中有一個是零…………………………………………... 55 表4-8 代換的文字符號是重覆的物件…………………………………………… 56 表4-9 學生對於恆等式的概念心像和實際例子之間的比較…………………… 59 表4-10-1 左式和右式互換後是否仍是和的平方公式(Ⅰ)…………………… 65 表4-10-2 左式和右式互換後是否仍是和的平方公式(Ⅱ)…………………… 65 表4-10-3 左式和右式互換後是否仍是和的平方公式(Ⅲ)………………….... 66 表4-11 和的平方公式的左右互換後是否相同………………………….……… 68 表4-12 和的平方公式左右互換呈現出的現象…………………………………. 71 表4-13 學生對於乘法公式的辨識情形…………………………………………. 74 表4-14 學生對於不同形式和的平方公式答題情形……………………………. 78 表4-15 數學老師對不同形式和的平方公式的回答…………………….……… 80 表4-16 學生對於乘法公式這個名詞的回答情形…………………………….… 83 表4-17 乘法公式概念的名稱和內涵的連結情形…………………………….… 85 表4-18 學生最先主動擷取的乘法公式之概念心像………………………….… 88 表4-19 和的平方公式形似類型與隱含類型的比較……………………………. 93 表4-20 差的平方公式形似類型與隱含類型的比較……………………………. 95 表4-21 平方差公式─由左至右形似類型與隱含類型的比較…………………. 97 表4-22 平方差公式─由右至左形似類型與隱含類型的比較…………………. 99 表4-23 形似類型與隱含類型察覺成功率差異的綜合比較………………….. 102 表4-24 形似類型數字形式的察覺成功率…………………………………..… 105 表4-25 隱含類型數字形式的察覺成功率…………………………………..… 107 表4-26 數字形式察覺成功率的綜合比較…………………………………..… 110 表4-27 和的平方公式中數字形式與文字形式的察覺成功率……………..… 112 表4-28 平方差公式─由左至右中數字形式與文字形式的察覺成功率…….. 114 表4-28 平方差公式─由左至右中數字形式與文字形式的察覺成功率…….. 117 表4-29 數字形式與文字形式察覺成功率綜合比較………………………….. 119 表4-30 形似類型中不同乘法公式間察覺成功率的比較……………………... 121 表4-31 隱含類型數字形式中不同乘法公式間察覺成功率的比較…………... 122 表4-32 隱含類型文字形式中不同乘法公式間察覺成功率的比較…………… 124 表4-33 不同乘法公式間察覺成功率的綜合比較……………………………... 126 表4-34 形似類型由左至右與由右至左的察覺成功率………………………... 128 表4-35 隱含類型數字形式由左至右與由右至左的察覺成功率……………... 129 表4-36 隱含類型文字形式由左至右與由右至左的察覺成功率……………... 131 表4-37 由左至右與由右至左的察覺成功率的比較…………………………... 133 表4-38 主動擷取概念心像與察覺題數………………………………………… 136 表4-39 恆等式概念心像與察覺題數…………………………………………… 138 表4-40 左右互換的概念心像與察覺題數……………………………………… 139 表4-41 公式形式的概念心像與察覺題數……………………………………… 140 圖 次 圖2-1 圓錐形的概念模型……………………………………………………….. 14 圖2-2 容易形成概念的例子示意圖…………………………………………….. 14 圖3-1 研究步驟流程圖………………………………………………………….. 40

    中文部分:
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