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研究生：	郭炎明
論文名稱：	高中生解三元一次方程組幾何意義的困難點
指導教授：	謝豐瑞
學位類別：	碩士 Master
系所名稱：	數學系 Department of Mathematics
論文出版年：	2007
畢業學年度：	96
語文別：	中文
論文頁數：	180
中文關鍵詞：	三元一次方程組、幾何意義、解題困難
論文種類：	學術論文
相關次數：	點閱：192 下載：124
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本研究的研究目的是探討高中生學過「三元一次方程組幾何意義」之後，在有效解題過程中可能出現的困難點及代數意義與幾何意義之間的連結情形。根據此目的，本研究為基礎性研究(Basic research)，研究方法為描述性研究。研究對象為高中二年級中上程度學生，樣本為臺北縣某國立高中共656位學生。
本研究部分研究結果如下:高中生解「三元一次方程組幾何意義」題目的困難點主要分為兩類：
壹、對於給定的三元一次方程組，許多學生沒有選擇適當的解題策略；例如，在x,y,z項係數成比例時，可直接判斷幾何意義，但高達七成的學生需要先求出解或利用克拉瑪公式來判定三平面的相交狀況，並沒有直接根據係數關係判斷幾何意義。
貳、許多學生在「代數意義」與「幾何意義」的連結上有困難:
一、大約六成五學生對於「係數不成比例關係」與「平面相交狀況」的連結有困難。
二、大約七成的學生對於「方程組無解、無限多解」與「平面相交狀況」的主動連結有困難。
三、大約九成的學生對於「 =0」直接連結到平面相交狀況有困難。
四、已知方程組分別為無解、無限多解、或 =0，且方程組的x,y,z項係數都不成比例，各約有六成的學生對於連結至平面相交狀況有困難。

關鍵字：三元一次方程組、幾何意義、解題困難

目    錄
第一章  緒論…………………………………………………1
第一節 研究動機……………………………………………………1
第二節 研究目的及名詞界定………………………………………3

第二章  文獻探討……………………………………………4

第三章  研究方法……………………………………………14
第一節 研究設計…………………………………………………14
第二節 研究樣本…………………………………………………15
第三節 研究工具…………………………………………………15
第四節 研究過程…………………………………………………34
第五節 研究限制…………………………………………………34

第四章  研究結果……………………………………………35
第一節 研究結果報導架構………………………………………35
第二節 利用觀察方程組係數關係，直接判斷幾何意義的困難點38
第三節 利用消去法判斷三元一次方程組幾何意義的困難點…50
第四節 利用克拉瑪公式判斷三元一次方程組幾何意義的困難點75
第五節 實際解題流程中學生的解題困難………………………104

第五章  研究結論與建議…………………………………141
第一節 研究結論…………………………………………………141
第二節 研究建議…………………………………………………145
參考文獻……………………………………………………148
中文部分……………………………………………………………148
英文部分……………………………………………………………149
附錄
附錄一 有效解題流程,共五種
附錄二 第一部分問卷
附錄三 第二部分問卷之奇數座號學生專用卷
附錄四 第二部分問卷之偶數座號學生專用卷
附錄五 前置研究問卷
附錄六 題號對照表







表  次
圖表編碼說明：各碼依次為章、節、表(或圖)的序號，例如：表3-3-1表示第三章第三節的第一個附表。

1.表3-3-1    八種三平面相交狀況之「平行或重合與否」分類表…………16
2.表3-3-2    三平面沒有平行或重合與方程組解的搭配狀況……………18
3.表3-3-3    三平面沒有平行或重合與 ,  是否為0的

    搭配狀況………………………………………………………18
4.表3-3-4    從「圖形判斷其可能對應的方程組」困難度統計表………20
5.表3-3-5    「描述圖形的解或交點狀況」困難度統計表………………20
6.表3-3-6    「用文字或語言來描述圖形的幾何意義」困難度統計表…20
7.表3-3-7     =0,   中至少有一個不為0的方程組，

    其可能的幾何意義……………………………………………31
8.表3-3-8     =0的方程組，其可能的幾何意義……………32

9.表4-1-1    group statistics……………………………………………35
10.表4-1-2    independent samples test…………………………………36
11.表4-1-3    研究工具編制架構及報導架構……………………………37
12.表4-2-1    第一題主要答案類型統計表………………………………41
13.表4-2-2    第二題主要答案類型統計表………………………………42
14.表4-2-3    第一題各選項勾選人數統計表……………………………42
15.表4-2-4    第二題各選項勾選人數統計表……………………………42
16.表4-2-5    第三(2)題主要答案類型統計表……………………………45
17.表4-2-6    第四(1)題主要答案類型統計表……………………………46
18.表4-2-7    第三(2)題各選項勾選人數統計表…………………………46
19.表4-2-8    第四(1)題各選項勾選人數統計表…………………………46
20.表4-3-1    三元一次方程組中任兩條方程式的x,y,z項係數
    都不成比例的可能幾何意義…………………………………51
21.表4-3-2    第五題主要答案類型統計表…………………………………52
22.表4-3-3    第六2(1)題主要答案類型統計表……………………………54
23.表4-3-4    第六2(1)題各選項勾選人數統計表…………………………55
24.表4-3-5    第六2(2)題主要答案類型統計表……………………………55
25.表4-3-6    第六2(2)題各選項勾選人數統計表…………………………55
26.表4-3-7    第六2(3)題主要答案類型統計表……………………………55
27.表4-3-8    第六2(3)題各選項勾選人數統計表…………………………56
28.表4-3-9    第七題主要答案類型統計表…………………………………59
29.表4-3-10    方程組無解時，可能的三平面相交狀況……………………62
30.表4-3-11    第八題主要答案類型統計表…………………………………62
31.表4-3-12    第九(1)題主要答案類型統計表……………………………62
32.表4-3-13    第九(1)題各選項勾選人數統計表…………………………63
33.表4-3-14    方程組無解時，x,y,z項係數關係與三平面相交狀況
    的搭配狀況…………………………………………………65
34.表4-3-15    第九(2)題主要答案類型統計表……………………………65
35.表4-3-16    第九(2)題各選項勾選人數統計表…………………………66
36.表4-3-17    方程組無限多解時，可能的三平面相交狀況………………69
37.表4-3-18    第十題主要答案類型統計表…………………………………69
38.表4-3-19    第十一(1)題主要答案類型統計表…………………………69
39.表4-3-20    第十一(1)題各選項勾選人數統計表………………………69
40.表4-3-21    方程組無限多解時，x,y,z項係數關係與三平面相交狀況
    的搭配狀況……………………………………………………72
41.表4-3-22    第十一(2)題主要答案類型統計表…………………………72
42.表4-3-23    第十一(2)題各選項勾選人數統計表………………………72
43.表4-4-1    第六1(1)題主要答案類型統計表……………………………78
44.表4-4-2    第六1(1)題各選項勾選人數統計表…………………………78
45.表4-4-3    第六1(2)題主要答案類型統計表……………………………78
46.表4-4-4    第六1(2)題各選項勾選人數統計表…………………………78
47.表4-4-5    第六1(3)題主要答案類型統計表……………………………78
48.表4-4-6    第六1(3)題各選項勾選人數統計表…………………………79
49.表4-4-7    第十二題主要答案類型統計表………………………………85
50.表4-4-8    第十二題各選項勾選人數統計表……………………………85
51.表4-4-9    第十三題主要答案類型統計表………………………………88
52.表4-4-10    第十三題各選項勾選人數統計表……………………………88
53.表4-4-11    第十四題主要答案類型統計表………………………………91
54.表4-4-12    第十四題各選項勾選人數統計表……………………………91
55.表4-4-13    第十五(1)題主要答案類型統計表…………………………93
56.表4-4-14    第十五(1)題各選項勾選人數統計表………………………94
57.表4-4-15    第十五(2)題主要答案類型統計表…………………………97
58.表4-4-16    第十五(2)題各選項勾選人數統計表………………………97
59.表4-4-17    第十五(3)題主要答案類型統計表…………………………100
60.表4-4-18    第十五(3)題各選項勾選人數統計表………………………100
61.表4-5-1    「【計一】沒有計算過程且幾何意義判斷錯誤」
    答題類型統計表………………………………………………106
62.表4-5-2    「【計一】用消去法解題且幾何意義判斷錯誤」
    答題類型統計表………………………………………………108
63.表4-5-3    「【計一】用克拉瑪公式解題且幾何意義判斷錯誤」
    答題類型統計表………………………………………………114
64.表4-5-4    「【計二】沒有計算過程且幾何意義判斷錯誤」
    答題類型統計表………………………………………………125
65.表4-5-5    「【計二】用消去法解題且幾何意義判斷錯誤」
    答題類型統計表………………………………………………127

圖  次
 1.圖3-3-1    「觀察方程組係數關係，直接判斷幾何意義」
之解題流程圖…………………………………………………22
 2.圖3-3-2    「先觀察方程組係數關係，再搭配消去法判斷幾何意義」
之解題流程圖…………………………………………………24
 3.圖3-3-3    「先利用消去法求出解的狀況，再搭配方程組係數關係
判斷幾何意義」之解題流程圖…………………………………25
 4.圖3-3-4    「先觀察方程組係數關係，再搭配克拉瑪公式
判斷幾何意義」之解題流程圖………………………………28
 5.圖3-3-5    「先利用克拉瑪公式判斷 ,  是否為0，再搭配
方程組係數關係判斷幾何意義」之解題流程圖……………29
 6.圖4-2-1    「觀察方程組係數關係，直接判斷幾何意義」
之解題流程圖…………………………………………………38
 7.圖4-3-1    「先觀察方程組係數關係，再搭配消去法判斷幾何意義」
之解題流程圖…………………………………………………50
 8.圖4-3-2    「先利用消去法求出解的狀況，再搭配方程組係數關係
判斷幾何意義」之解題流程圖………………………………58
 9.圖4-4-1    「先觀察方程組係數關係，再搭配克拉瑪公式
判斷幾何意義」之解題流程圖………………………………75
10.圖4-4-2    「先利用克拉瑪公式判斷 ,  是否為0，再搭配
方程組係數關係判斷幾何意義」之解題流程圖……………83
                                

參考文獻
中文部份
1. Skemp, R. (1987)：數學學習心理學（陳澤民譯，民84）。台北：九章出版社。
2. 丁斌悅（民91）：國二學生學習線型函數時的概念表徵發展研究。國立臺灣師範大學數學研究所碩士論文。
3. 朱綺鴻（民88）：現職教師對教導數學歸納法意見初探。台灣師範大學科教研究所博士論文。
4. 林福來(1997)：教學思維發展：整合數學教學知識的敎材教法。行政院國科會專題研究計畫(三年)報告。
5. 教育部(2003)：國民中小學九年一貫課程綱要。台北：教育部。
6. 陳盈言（民90）：國二學生變數概念的成熟度對其函數概念發展的影響。國立台灣師範大學數學研究所碩士論文。
7. 鄭維誠（民91）：線型函數的學習對國二學生變數概念發展的影響。國立臺灣師範大學研究所碩士論文。
8. 蔡志仁（民89）：動態連結多重表徵視窗下橢圓學習之研究。國立臺灣師範大學數學研究所碩士論文。
9. 謝豐瑞(1993)：數學解題能力的培養。中等教育，第44卷，第4期，26-37。

英文部份
1. Brenner, M. E., Mayer, R. E., Moseley, B., Brar, T., Dura'n, R., Reed, B. S., & Weeb, D. (1997). Learning by Understanding: The role of multiple representations in learning algebra. American Educational Research Journal, 34(4),pp. 663-689.
2. Dickey, E.M. （1993）. The Golden Ratio: A Golden Opportunity to Investigate Multiple Representations of a Problem. The Mathematics Teacher, 86(7), pp.554-557.
3. Dreyfus, T. ＆ Eisenberg, T. （1982）. Intuitive functional concepts: A baseline study on intuitions. Journal for Research in Mathematics Education, 13(5), pp.360-380.
4. Dreyfus, T., & Eisenberg, T.（1987）. On the deep structure of functions. In Proceedings of the Eleventh. International Conference on the Psychology of Mathematics Education. In J. Bergeron, N. Herscovits, ＆ C. Kieran（Eds）,Vol. 1, pp.190-196.Universite de Montreal, Montreal, Canada.
5. Dyke, V. ＆ Craine, T. V. （1997）. Equivalent Representations in the Learning of Algebra. Mathematics Teacher, Vol. 90, No. 8, pp.616-619.
6. Even, R. （1990）. Subject matter knowledge for teaching and the case of function. Educational Studies in Mathematics, 21, pp.521-544.
7. Even, R. （1998）. Factors involved in linking representations of functions. Journal of Mathematical Behavior, 17(1), pp.105-121.
8. Herscovics, N. （1979）. A learning model for some algebraic concepts. In K. Fuson, ＆ W. Geeslin, (Eds.), Explorations in the modelling of the learning of mathematics, pp.98-116. Columbus, OH: ERIC/SMEAC.
9. Janvier, C. （1987a）. Representation and Understanding: The Notion of Function as an Example. In C. Janvier, (Ed.), Problems of Representation in the Teaching and Learning of Mathematics, pp.67-71. New Jersey, Lawrence Erlbaum Associates, Inc.
10. Lesh et al.(1987). Representations and Translations among representations in mathematics learning and problem solving. Problems of representation in the teaching and learning of mathematics.Edited by Claude Janiver,pp.33-40.
11. Lester, F. K. (1980). Problem solving: Is it a problem? In M. M. Lindquist (Ed.), Selected issues in mathematics education (pp.29-45). Berkeley CA: McCutchan
12. Markovits, Z., Eylon, B., ＆ Bruckheimer, M. （1986）. Functions Today and Yesterday. For the Learning of Mathematics, Vol. 6, No. 2, pp.18-28.
13. Mayer, R. E. (1992). Think, problem solving, cognition. New York: W. H. Freeman and Company
14. National Council of Teachers of Mathematics. (1980). An agenda for action:Recommendations for school mathematics of the 1980's. Reston, VA: NCTM
15. National Council of Teachers of Mathematics.(1989). Curriculum and Evaluation Standards for school mathematics, Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics
16. National Council of Teachers of mathematics.(1990). Principles and Standards for School Mathematics. printed in USA.
17. National Council of Teachers of mathematics.(2000).Principles and Standards for School Mathematics. printed in USA
18. Polya, G. (1945). How to solve it. Princeton, NJ: Princeton University Press.
19. Schoenfeld, A. H. (1985). Mathematical problem solving. Orlando,FL：Academic Press
20. Von Glasersfeld, E. （1987）. Preliminaries to Any Theory of Representation. In C. Janvier, (Ed.), Problems of Representation in the Teaching and Learning of Mathematics, pp.215-225. New Jersey, Lawrence Erlbaum Associates, Inc
21. Wheatley, G. H. (1998). Imagery and mathematics learning. Focus on learning in mathematics. Vol. 20.

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